Samenvatting: Hoger Wiskunde Ii

Lees hier de samenvatting en de meest belangrijke oefenvragen van Hoger Wiskunde II

• 1 Vectorruimten: Lineaire Afbeelding

  Dit is een preview. Er zijn 4 andere flashcards beschikbaar voor hoofdstuk 1
  Laat hier meer flashcards zien

• Wat is een vectorruimte (R,V,+)?Welke voorbeelden zijn er?

  Elementen van R zijn de scalairen
  Elementen van V zijn de vectoren
  Wat voldoet aan: 'Voor alle v in V: v+n = v = n+v' is de nulvector
  Combinaties van labda*v + mu*w noemen we lineaire combinaties. 
  
  (R,R,+)
  (R,R^n,+)
  (R,C^k(R),+) zijn de functies f: R -> R, die k keer afleidbaar zijn. 
  (R,Rconv,+)
  (R,R[X],+) is de verzameling van alle veeltermen in X met reële coëfficiënten

• Wat is lineaire (on)afhankelijkheid?

  Zij (R,V,+) een vectorruimte en D zit in V. We noemen een vector v in V lineair afhankelijk van D als v in vct(D), dus als v kan geschreven worden als lineaire combinatie van elementen uit D. We noemen v lineair onafhankelijk als dat niet kan. 
  
  We noemen D een lineair afhankelijk deel als er minstens één vector in D bestaat die lineair afhankelijk is van andere vectoren uit D. D is een lineair onafhankelijk (of vrij) deel als geen enkele vector in D bestaaat die lineair afhankelijk is van andere vectoren uit D. 

• Wat is een basis?Wat is eindigdimensionaal?

  
  BASISZij (R,V,+) een vectorruimte. We noemen een deelverzameling B van V een basis van V als B voortbrengend is (dus vct(B) = V) én vrij is. De elementen van een basis noemt men basisvectoren. 
  
  EINDIGDIMENSIONAAL
  Indien (R,V,+) een eindige basis heeft, dan noemen we deze eindigdimensionaal. We definiëren dan de dimensie als het aantal elementen in die eindige basis. We noteren dit aantal door dim V. 

• Wat is een lineaire afbeelding?

  Zij (R,V,+) en (R,W,+) vectorruimten. We noemen een afbeelding L: V -> W lineair als:
  'Voor alle v1,v2 in V, voor alle lab1, lab2 in R: L(lab1v1+lab2v2) = lab1L(v1)+lab2L(v2)'
  
  m.a.w. L 'schuift' door lineaire combinaties. Indien L lineai en bijectief is, noemt men L een isomorfisme. Als er een isomorfisme bestaat van V naar W, dan noemt men V en W isomorf. Lineaire afbeelding noemt men ook vorm of functionaal. Of een lineaire transformatie van V

• Wat is een kern?Wat is een beeld?

  Zij L: V -> W een lineaire afbeelding. We definiëren de kern van L (nottie Ker L) door:
  'Ker L = {v in V | L(v) = 0)'
  En het beeld van L door (notatie Bld, Ran, Im):
  'Im L = {w in W | er bestaat v in V: w = L(v)}
  
  Meetkundig staat Ker voor de Y-as en Im voor de X-as. 

• Wat is een lineaire differentievergelijking?

  Een lineaire differentievergelijking van orde r in N0 is een vergelijking voor een (onbekende) rij Yn van de vorm:
  Yn+r + Pnr-1*Yn+r-1.....+Pn0*Yn = Qn
  We noemen de differentievergelijking homogeen als Qn=0 voor alle n in N. Een rij Yn die voldoet noemen we een oplossing van de differentievergelijking. 

• 2 Elementaire Meetkunde

  Dit is een preview. Er zijn 2 andere flashcards beschikbaar voor hoofdstuk 2
  Laat hier meer flashcards zien

• Wat is lineaire programmering?

  Optimalisatieprobleem waarbij zowel de functie die gemaximaliseerd moet worden, als de functies die de randvoorwaarden beschrijven, lineair zijn. Eerst teken je het toelaatbare gebied, alle punten die aan de randvoorwaarden voldoen. Vervolgens de te maximaliseren functie bijv: W(x,y) gelijk stellen aan verscheidene C's en opschuiven tot grootste mogelijke optie. 
  
  - toelaatbaargebied is convex
  - optimum ligt op de rand
  - optimum is globaal, niet slechts lokaal

• 3 Eigenwaarden. Eigenvectoren

  Dit is een preview. Er zijn 2 andere flashcards beschikbaar voor hoofdstuk 3
  Laat hier meer flashcards zien

• Waarvoor zijn eigenwaarden en eigenvectoren relevant?

  Stel we willen matrix A^k uitrekenen. Als A kan geschreven worden als Q*D*Q^-1 waarbij D een diagonale matrix is. Hoef je enkel D^k te doen, en omdat die diagonaal is hoef je enkel de elementen op de diagonaal ^k te doen! Ookwel: AQ=QD

• Hoe bereken je eigenwaarden en eigenvectoren?

  Det(A - labda op de diagonalen) geeft een karakteristieke veelterm. Deze oplossen geeft de eigenwaardes. Vervolgens vul je deze in in de matrix met labda en die matrix stel je gelijk aan 0. Daaruit krijg je per eigenwaarde een eigenvector of meerdere. 
  
  Als labda een eigenwaarde van A is. Dan is deze ook een eigenwaarde van de getransponeerde matrix. 

• Wat is het primitief zijn van een matrix?En irreduceerbaar?

  Zij A een vierkante matrix met positieve matrixelementen. 
  - We noemen A primitief als er een k in N0 bestaat zo dat alle matrixelementen van A^k strikt positief zijn. 
  - We noemen A irreduceerbaar als er voor elke i,j = 1,....,m een k in N0 bestaat zo dat het (i,j)-element van A^k strikt positief is.