Startpagina / Samenvattingen / Hoger Wiskunde II / dx-b-a-functie

Integralen

Q: Wat is de numerieke integratiemethode via reeksontwikkeling?

VIA REEKSONTWIKKELING f(x) = Som van: ak(x-c)^k voor alle x in R met |x-c|<R ---> lim n->oneindig (b,a[som van:ak(x-c)^k]dx) ^ max enkel voor machtreeksen

Q: Hoe werken oneigenlijke integralen?

We noemen een functie f:[a,+oneindig[ -> R oneigenlijk Riemannintegreerbaar als f Riemandintegreerbaar is over elk interval [a,b] met b>=a en als lim b->oneindig b,a[f(x)]dx bestaat in R. Dit geldt ook voor rijen die naar een punt integreren dat voor 'moeilijkheden' zorgt. VERGELIJKINGSTEST als |f(x)| <= g(x0. Veronderstel dat f Riemanintegreerbaar is over elk gesloten begrensd deelinterval van I en dat g oneigenlijk Riemanintegreerbaar is over I. Dan is ook f oneigenlijk Riemannintegreerbaar over I.

6 belangrijke vragen over Integralen

Wat is de middelwaardestelling voor de Riemannintegraal

Zij f:[a,b] een continue functie. Dan bestaat er een c in [a,b] zo dat
Integraal f = f(c)*(b-a)

Verder de riemannsom als de afstand tussen naburige punten convergeert naar nul
Ri = som van: f(ck,i)*(xk,i - x(k-1,i))

Wat is de hoofdstelling van de integraalrekening?

Zij f: [a,b] -> R een continue functie. Definieer g: [a,b} -> R: x -> g(x) door
g(x) is integraal van f van a tot x. Dan is g afleidbaar over [a,b] en g'(x) = f(x)

Verder is integraal van a tot b van f = F(b) - F(a)

Wat is de numerieke integratietechnieken via de trapeziumregel?

- het interval in n gelijke stukken verdelen

- de functie f op elk deelinterval benaderen door een eerstegraadsfunctie
h = xk - x(k-1) = (b-a)/n

b,a[f(x)]dx = h/2*som(f(x(k-1))+f(xk))
= h(1/2f(x0)+f(x1)+f(x2)+....+1/2f(xn))

DE FOUT
Tn is de benadering van de integraal b,a[f(x)]dx. h = (b-a)/n
M1 <= f''(x) <= M2
Als M een reëel getal is zo dat |f''(x)|<=M dan:
|b,a[f(x)]dx - Tn| <= (M*(b-a))*h^2/12

Wat is de numerieke integratiemethode via reeksontwikkeling?

VIA REEKSONTWIKKELING
f(x) = Som van: ak(x-c)^k voor alle x in R met |x-c|<R
--->
lim n->oneindig (b,a[som van:ak(x-c)^k]dx)
^ max enkel voor machtreeksen

Wat is de numerieke integratiemethode via de regel van Simpson?

Verfijning van de trapeziumregel
h = (b-a)/n
b,a[f(x)]dx = h/3(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+.....+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn))
Bovengrens van de fout is:
|b,a[f(x)]dx - Sn| <= M(b-a)h^4/180

Hoe werken oneigenlijke integralen?

We noemen een functie f:[a,+oneindig[ -> R oneigenlijk Riemannintegreerbaar als f Riemandintegreerbaar is over elk interval [a,b] met b>=a en als
lim b->oneindig b,a[f(x)]dx bestaat in R.

Dit geldt ook voor rijen die naar een punt integreren dat voor 'moeilijkheden' zorgt.

VERGELIJKINGSTEST
als |f(x)| <= g(x0. Veronderstel dat f Riemanintegreerbaar is over elk gesloten begrensd deelinterval van I en dat g oneigenlijk Riemanintegreerbaar is over I. Dan is ook f oneigenlijk Riemannintegreerbaar over I.

De vragen op deze pagina komen uit de samenvatting van het volgende studiemateriaal:

Hoger Wiskunde II

Bekijk samenvatting