Startpagina / Samenvattingen / Class notes - Toegepaste Statistieken / verdeling-kans-formule

Binomiale en Normale verdeling

Q: Dit is een voorbeeld van een binomiale verdeling: Een tentamen heeft 5 vragen die uit 4 meerkeuzeantwoorden bestaat. Van de 4 antwoorden is er 1 goed en 3 fout. Om te slagen moeten we minstens 3 antwoorden goed hebben. Hoe groot is de kans om te slagen door alleen te gokken? Wat is in dit voorbeeld de herhaling? Wat is de kans op succes? Wat is de kans op fout? En is dit afhankelijk van elkaar?

Het totaal aantal keren dat een vraag gesteld wordt is 5 ( N=5 ). Het aantal keren dat een antwoord goed is 3 ( x= 3 ) Dan zijn er automatisch 2 antwoorden fout ( N-x=5-3=2 ) De antwoorden worden gegokt dus ze zijn volledig onafhankelijk van elkaar.

Q: Wanneer mag de binomiale verdeling gebruikt worden?

In situaties waarin: er maar twee uitkomsten mogelijkheden zijn . (goed/fout, ja/nee) de gebeurtenissen onafhankelijk van elkaar zijn . de kans op de uitkomst van de gebeurtenis bij elke waarde gelijk blijft . (zoals steekproeven met teruglegging)

29 belangrijke vragen over Binomiale en Normale verdeling

Dit is een voorbeeld van een binomiale verdeling:
Een tentamen heeft 5 vragen die uit 4 meerkeuzeantwoorden bestaat. Van de 4 antwoorden is er 1 goed en 3 fout. Om te slagen moeten we minstens 3 antwoorden goed hebben. Hoe groot is de kans om te slagen door alleen te gokken?
Wat is in dit voorbeeld de herhaling? Wat is de kans op succes? Wat is de kans op fout? En is dit afhankelijk van elkaar?

Het totaal aantal keren dat een vraag gesteld wordt is 5 (N=5).
Het aantal keren dat een antwoord goed is 3 (x= 3)
Dan zijn er automatisch 2 antwoorden fout (N-x=5-3=2)
De antwoorden worden gegokt dus ze zijn volledig onafhankelijk van elkaar.

Wat betekent het uitroepteken (!) achter een cijfer (of letter), en hoe noemen we dit?

Het uitroepteken achter een cijfer of letter noemen we faculteit. Een faculteit is een wiskundige bewerking over het cijfer/nummer wat ervoor staat. Je neemt het betreffende getal en doet het keer hetzelfde getal minus 1, en herhaalt dit tot en met 1.

Wat betekenen de letters N, x, p en q?

N= totaal
x= behaald aantal goed
p = kans op goed
q = kans op fout

Wat is de binomiaalcoefficient? (zie formule blz 65)

N boven X

De berekening die hier bij hoort is als volgt:De de faculteit van het totaal aantal vragen -N!- moet gedeeld worden door de faculteit van de goede antwoorden -x!- maal de faculteit van de foute antwoorden -(N-x)!- vragen fout.
Dus: N!/x!*(N-x)!

Welke bijzondere regel bestaat er bij de macht tot 0, en de nul-faculteit ?

Elk willekeurig getal tot de macht 0 of de nulfaculteit moet 1 voor ingevuld worden. Dus bv 1/4 tot de macht 0 = 1

Wat is de formule van de binomiale verdeling? (zie formule blz 65)

De totale formule van de binominale verdeling is:
n= totaal aantal vragen/elementen
X= varieerend aantal successen
x= bepaald aantal successen
n-p= bepaald aantal mislukkingen
p= kans op succes
q= kans op mislukking

Wanneer mag de binomiale verdeling gebruikt worden?

In situaties waarin:

er maar twee uitkomsten mogelijkheden zijn. (goed/fout, ja/nee)
de gebeurtenissen onafhankelijk van elkaar zijn.
de kans op de uitkomst van de gebeurtenis bij elke waarde gelijk blijft. (zoals steekproeven met teruglegging)

4.2 Wat is Mu (µ) en hoe bereken je het?

Mu (µ) is de verwachte waarde (E=x), namelijk het gemiddelde op den lange duur.
Mu bepaald in de verdeling de plaats van het midden van de verdeling.
Mu bijvoorbeeld bij; Hoeveel vragen mensen gemiddeld goed zullen hebben, aantal vragen x kans op het goed antwoord? De formule om Mu uit te rekenen is: µ=E(x)=n*p

Wat geeft de standaardafwijking aan? En hoe bereken je die?

De standaardafwijking geeft in de verdeling de spreiding aan zodat een verdeling breed of smal uitvalt. Het wordt met het sigma-teken weergegeven. De formule voor de standaardafwijking is de wortel uit n*p*q.

Wat is het verschil tussen een kansmodel en een kans verdeling?

In een kansmodel bereken je kansen in een kans verdeling staan ze uitgeschreven.

Wat gebeurt er met de binomiale verdeling als N heel groot is?

Dan gaat de verdeling steeds meer lijken op de normaalverdeling.

Hoe wordt de term normale kansverdeling ook genoemd? En wat zegt het woord 'normaal'?

Theoretische kansverdeling of normale kansverdeling dankt haar naam niet aan het feit dat de gegevens altijd normaal zijn verdeeld, maar vanwege de wiskundige eigenschappen die van belang zijn om op basis van steekproefgegevens conclusies te trekken over de populatie. Als 'normale-verdeling' gezegd wordt gaat het om verdelingen met dezelfde formule als uitgangspunt. In de normale verdeling wordt gerekend met continue variabele.

Wat is de formule voor een normale verdeling? (zie formule blz 75)

Met behulp van deze formule kunnen we de grafiek tekenen, door iedere waarde van x in te vullen.

Pi = 3,14
E = 2,72

4.4 Wat gebeurt er in een normaalverdeling wanneer we van elke X-waarde een constante aftrekken?

Er verandert niets aan de vorm van de curve enkel de positie op de schaal verandert, verschuift naar links of rechts.

Wat gebeurt er in een normaalverdeling wanneer we van elke X-waarde het gemiddelde mu zouden aftrekken?

(zie afbeelding 4.6 blz 80)
Als we van elke score het gemiddelde aftrekken, is het nieuwe gemiddelde gelijk aan nul. Deze nieuwe scores noemen we z-scores of standaardscores of schrijven we met het teken z'. z'=X-mu. De nieuwe verwachte mu is dan gelijk aan nul.

Wat is de formule voor het berekenen van de z-score?

(zie formule blz 80)
Zx = X – mu / Sigma

Hoe kan je de normale verdeling omzetten naar een standaardnormale verdeling?

Dit kun je doen door alle waarde om te zetten in Z-scores
Zx = X – U / Sigma
Bij een standaardnormale verdeling is de verwachte waarde U altijd 0 en de standaardafwijking Sigma altijd 1.

Waarom is het belangrijk om de normale verdeling te transformeren naar een standaardnormale verdeling?

Het helpt ons om bij alle mogelijke normale verdelingen kansen te bepalen die we willen hebben. Hiervoor is een tabel gemaakt.
Standaarddeviate en z-score zijn dus hetzelfde.

Welke score gebruikt de normale verdeling?

Z-score (mu 0, sigma 1) om verdelingen te kunnen vergelijken

Hoe groot is de kans op een IQ tussen 105 en 120?

Deze uitkomst moeten we in twee keer uitrekenen. Twee keer standaardiseren. dit betekend dat we 105-100:15 moeten doen en 120-100:15
0.33 < Z < 1.33
0.3707 - 0.0918 = 0.2789

Hoe groot is de kans op een IQ van minder dan 85 of meer dan 115? tweezijdig?

85-100:15= 1 = 0.1587
115- 100: 15= 1 = 0.1587
optellen: 0.3174

4.4.1 Kansen uit de tabel van de standaardnormale verdeling
Wat wordt er bedoelt met overschrijdingskans?

De meeste tabellen hebben oppervlakten óf links óf rechts van een bepaalde waarde. Deze oppervlakten komen overeen met kansen.
In zo'n een tabel kan je zien of de kans dat een z-waarde groter of gelijk aan een bepaalde waarde. Dit soort kansen heten overschrijdingskansen, omdat ze de kans aangeven dat een bepaalde waarde wordt overschreden.

Wat bedoelen we met linker overschrijdingskans?

Veronderstel dat we de kans willen weten op een z -waarde die gelijk aan of kleiner is dan een bepaalde waarde, bijvoorbeeld P(z ≤ 0.37). Dit is de linker overschrijdingskans, dus van negatief naar meer negatief. Dit kan ook weer worden opgezocht in de tabel. PL (1.15) = P (z ≤ 1,15). Dit geldt ook voor negatieve waarden.

Wat bedoelen we met tweezijdige overschrijdingskansen?

Tweezijdige overschrijvingskans

Kans op z tussen twee waarden

Behalve linker, rechter en tweezijdige overschrijdingskansen kunnen we ook berekenen hoe groot de kans is dat z tussen twee waarden in ligt. Bijvoorbeeld de kans tussen -1,96 en + 1,96. De kans op een z groter dan + 1,96 is gelijk aan 0,0250 en de kans op een z kleiner dan -1,96 is gelijk aan 0,0250. De kans op een z tussen beide waarden is dan ook gelijk aan: 1 – 2 x 0,0250 = 1 – 0,050 = 0,95.

4.4.2 Kansen in willekeurige normale verdelingen

Alle kansen kunnen we bij een standaardnormale verdeling dus opzoeken, maar de tabel waarin we dit kunnen opzoeken hebben we eigenlijk vooral nodig als we kansen willen berekenen waarin niet de standaardnormale, maar een ‘gewone’ verdeling is gegeven met een bepaalde μ en σ. Om zulke kansen te bepalen maken we gebruik van het feit dat de overschrijdingskans van een bepaalde waarde a bij een gewone normale verdeling gelijk is aan de overschrijdingskans van de z-score van die waarde a bij de standaardnormale verdeling. Dus als X normaal verdeeld is met (μ, σ), dan
P (X ≥ a) = P (zX) ≥ (a - μ) / σ)

4.5 Benadering van de binomiale verdeling door de normale verdeling:

Veronderstel dat een tentamen uit 50 3-keuze items bestaat en dat iemand geslaagd is met 37 of meer items goed. Wat is de kans om te slagen wanneer je alleen maar gokt? Nu moeten we de kans berekenen op 37 vragen goed, 38, 39 tot en met 50. Zie voor berekening bladzijde 90.Eerder is gezegd dat naarmate n groter wordt, de grafiek steeds meer gaat lijken op een normale verdeling. De gangbare vuistregel is dat de benadering van de binomiale verdeling door de normale verdeling goed is wanneer n*p>5 én n*q>5

Wat gebeurt er als we een binomiale verdeling benaderen met behulp van een standaard normale verdeling?

Wanneer we de binomiale verdeling benaderen met behulp van de standaardnormale verdeling dan geldt de formule op bladzijde 93. Let op:
Indien PL dan X + 0,5 als continuïteitscorrectie (36,5 bij X=37)
Indien PR dan X – 0,5 als continuïteitscorrectie ( 37,5 bij X=37)

Wanneer mag de binomiaalverdeelde variabele behandeld worden alsof het een normaal verdeelde variabele is?

Wanneer het aantal gebeurtenissen N groot is, namelijk wanneer n*p>5 én n*Q>5.

De vragen op deze pagina komen uit de samenvatting van het volgende studiemateriaal:

Toegepaste Statistieken

Bekijk samenvatting

Een unieke studie- en oefentool
Nooit meer iets twee keer studeren
Haal de cijfers waar je op hoopt
100% zeker alles onthouden

Onthoud sneller, leer beter. Wetenschappelijk bewezen.

Studiemateriaal generieke omslagafbeelding

Binomiale en Normale verdeling

29 belangrijke vragen over Binomiale en Normale verdeling

Wat betekent het uitroepteken (!) achter een cijfer (of letter), en hoe noemen we dit?

Wat betekenen de letters N, x, p en q?

Wat is de binomiaalcoefficient? (zie formule blz 65)

Welke bijzondere regel bestaat er bij de macht tot 0, en de nul-faculteit ?

Wat is de formule van de binomiale verdeling? (zie formule blz 65)

Wanneer mag de binomiale verdeling gebruikt worden?

4.2 Wat is Mu (µ) en hoe bereken je het?

Wat geeft de standaardafwijking aan? En hoe bereken je die?

Wat is het verschil tussen een kansmodel en een kans verdeling?

Wat gebeurt er met de binomiale verdeling als N heel groot is?

Hoe wordt de term normale kansverdeling ook genoemd? En wat zegt het woord 'normaal'?

Wat is de formule voor een normale verdeling? (zie formule blz 75)

4.4 Wat gebeurt er in een normaalverdeling wanneer we van elke X-waarde een constante aftrekken?

Wat gebeurt er in een normaalverdeling wanneer we van elke X-waarde het gemiddelde mu zouden aftrekken?

Wat is de formule voor het berekenen van de z-score?

Hoe kan je de normale verdeling omzetten naar een standaardnormale verdeling?

Waarom is het belangrijk om de normale verdeling te transformeren naar een standaardnormale verdeling?

Welke score gebruikt de normale verdeling?

Hoe groot is de kans op een IQ tussen 105 en 120?

Hoe groot is de kans op een IQ van minder dan 85 of meer dan 115? tweezijdig?

4.4.1 Kansen uit de tabel van de standaardnormale verdelingWat wordt er bedoelt met overschrijdingskans?

Wat bedoelen we met linker overschrijdingskans?

Wat bedoelen we met tweezijdige overschrijdingskansen?

Kans op z tussen twee waarden

4.4.2 Kansen in willekeurige normale verdelingen

4.5 Benadering van de binomiale verdeling door de normale verdeling:

Wat gebeurt er als we een binomiale verdeling benaderen met behulp van een standaard normale verdeling?

Wanneer mag de binomiaalverdeelde variabele behandeld worden alsof het een normaal verdeelde variabele is?

Samenvattingen die gerelateerd zijn aan Statistische Generalisatie: Steekproeven en populatie

Class notes - Toegepaste Statistieken

Biological psychology

Cross-culturele psychologie : de zoektocht n…

Ontwikkelingspsychologie

Groepen aan het werk

Conflicten in organisaties : theorie en prak…

Klinische psychologie : diagnostiek en thera…

Het psychologisch onderzoek : een oefenboek

Observeren en rapporteren

Introduction to the practice of statistics

Casemanagement

De bestaansvoorwaarden : inleiding in de org…

4.4.1 Kansen uit de tabel van de standaardnormale verdeling
Wat wordt er bedoelt met overschrijdingskans?